Định nghĩa mối quan hệ tuyến tính

Một mối quan hệ tuyến tính là gì?

Mối quan hệ tuyến tính (hay liên kết tuyến tính) là một thuật ngữ thống kê được sử dụng để mô tả mối quan hệ đường thẳng giữa một biến và hằng số. Mối quan hệ tuyến tính có thể được biểu thị theo định dạng đồ họa trong đó biến và hằng được kết nối thông qua một đường thẳng hoặc ở định dạng toán học trong đó biến độc lập được nhân với hệ số độ dốc, được thêm bởi một hằng số, xác định biến phụ thuộc.

Một mối quan hệ tuyến tính có thể tương phản với mối quan hệ đa thức hoặc phi tuyến tính (cong).

Chìa khóa chính

Mối quan hệ tuyến tính (hoặc liên kết tuyến tính) là một thuật ngữ thống kê được sử dụng để mô tả mối quan hệ đường thẳng giữa một biến và hằng. Mối quan hệ rõ ràng có thể được biểu thị theo định dạng đồ họa hoặc dưới dạng phương trình toán học có dạng y = mx + b Mối quan hệ cuối cùng là khá phổ biến trong cuộc sống hàng ngày.

Phương trình tuyến tính là:

Về mặt toán học, một mối quan hệ tuyến tính là một mối quan hệ thỏa mãn phương trình:

Hay nói, là một tài tài của, qua, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua một tài khác $\begin{matrix} y = = m x + b \\ Ở đâu: \\ m = = dốc \\ b = = y-chặn \end{matrix} \ started {căn chỉnh} & y = mx + b \\ & \ textbf {trong đó:} \ & m = \ text {dốc} \ & b = \ text {y-chặn} \ end {căn chỉnh}$ Y = mx + bwhere: m = slopeb = y-chặn

Trong phương trình này, các phần mềm và xiên yv là hai biến có liên quan đến nhau bởi các tham số. Về mặt đồ họa, y = mx + b vẽ đồ thị trong mặt phẳng xy dưới dạng đường thẳng có độ dốc m m và y-chặn chặn b. Trực tiếp y-chặn chặn Bọ chỉ đơn giản là giá trị của cách y y khi x = 0. Độ dốc Hoàng mv được tính từ hai điểm riêng lẻ (x ₁, y ₁) và (x ₂, y ₂) là:

Hay nói, là một tài tài của, qua, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua một tài khác $m = = \frac{(y_{2} - y_{1})}{(x_{2} - x_{1})} m = \ frac {(y_2 - y_1)} {(x_2 - x_1)}$ m = (x2 x1) (y2 y1)

Mối quan hệ tuyến tính

Một mối quan hệ tuyến tính cho bạn biết gì?

Có ba bộ tiêu chí cần thiết mà một phương trình phải đáp ứng để đủ điều kiện là một phương trình tuyến tính: một phương trình biểu thị mối quan hệ tuyến tính không thể bao gồm nhiều hơn hai biến, tất cả các biến trong một phương trình phải thuộc về lũy thừa thứ nhất và phương trình phải vẽ đồ thị như một đường thẳng.

Một hàm tuyến tính trong toán học là một hàm thỏa mãn các tính chất của tính gây nghiện và tính đồng nhất. Các hàm tuyến tính cũng tuân thủ nguyên tắc chồng chất, trong đó nêu rõ rằng đầu ra ròng của hai hoặc nhiều đầu vào bằng tổng đầu ra của các đầu vào riêng lẻ. Một mối quan hệ tuyến tính thường được sử dụng là một mối tương quan, mô tả cách một biến thay đổi theo kiểu tuyến tính với thay đổi trong một biến khác.

Trong kinh tế lượng, hồi quy tuyến tính là một phương pháp thường được sử dụng để tạo ra các mối quan hệ tuyến tính để giải thích các hiện tượng khác nhau. Tuy nhiên, không phải tất cả các mối quan hệ là tuyến tính. Một số dữ liệu mô tả các mối quan hệ bị cong (chẳng hạn như mối quan hệ đa thức) trong khi các dữ liệu khác vẫn không thể được tham số hóa.

Hàm tuyến tính

Về mặt toán học tương tự như mối quan hệ tuyến tính là khái niệm về hàm tuyến tính. Trong một biến, một hàm tuyến tính có thể được viết như sau:

Hay nói, là một tài tài của, qua, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua một tài khác $\begin{matrix} f (x) = = m x + b \\ Ở đâu: \\ m = = dốc \\ b = = y-chặn \end{matrix} \ started {căn chỉnh} & f (x) = mx + b \\ & \ textbf {trong đó:} \ & m = \ text {dốc} \ & b = \ text {y-chặn} \ end {căn chỉnh}$ F (x) = mx + bwhere: m = slopeb = y-chặn

Điều này giống hệt với công thức đã cho cho mối quan hệ tuyến tính ngoại trừ ký hiệu f (x) được sử dụng thay cho y. Sự thay thế này được thực hiện để làm nổi bật ý nghĩa của x được ánh xạ tới f (x), trong khi việc sử dụng y chỉ đơn giản chỉ ra rằng x và y là hai đại lượng, liên quan đến A và B.

Trong nghiên cứu về đại số tuyến tính, các tính chất của hàm tuyến tính được nghiên cứu rộng rãi và thực hiện nghiêm ngặt. Cho một vô hướng C và hai vectơ A và B từ R ^N, định nghĩa chung nhất của hàm tuyến tính nói rằng: $c \times f (Một + B) = = c \times f (Một) + c \times f (B) c \ lần f (A + B) = c \ lần f (A) + c \ lần f (B)$ c × f (A + B) = c × f (A) + c × f (B)

Ví dụ về mối quan hệ tuyến tính

ví dụ 1

Mối quan hệ tuyến tính là khá phổ biến trong cuộc sống hàng ngày. Hãy lấy khái niệm về tốc độ chẳng hạn. Công thức chúng ta sử dụng để tính tốc độ như sau: tốc độ là quãng đường di chuyển theo thời gian. Nếu ai đó trong một chiếc minivan Chrysler Town và Country 2007 màu trắng đang đi giữa Sacramento và Marysville ở California, đoạn đường dài 41, 3 dặm trên Quốc lộ 99, và chuyến đi hoàn thành kết thúc sau 40 phút, cô ấy sẽ đi dưới 60 dặm / giờ.

Mặc dù có nhiều hơn hai biến trong phương trình này, nhưng nó vẫn là một phương trình tuyến tính bởi vì một trong các biến sẽ luôn là một hằng số (khoảng cách).

Ví dụ 2

Một mối quan hệ tuyến tính cũng có thể được tìm thấy trong khoảng cách phương trình = tỷ lệ x thời gian. Vì khoảng cách là một số dương (trong hầu hết các trường hợp), mối quan hệ tuyến tính này sẽ được biểu thị trên góc phần tư phía trên bên phải của đồ thị với trục X và Y.

Nếu một chiếc xe đạp làm cho hai đang đi với tốc độ 30 dặm một giờ trong vòng 20 giờ, người lái sẽ kết thúc đi 600 dặm. Được biểu thị bằng đồ họa với khoảng cách trên trục Y và thời gian trên trục X, một đường theo dõi khoảng cách trong 20 giờ đó sẽ đi thẳng ra khỏi sự hội tụ của trục X và Y.

Ví dụ 3

Để chuyển đổi Celsius thành Fahrenheit hoặc Fahrenheit thành Celsius, bạn sẽ sử dụng các phương trình dưới đây. Các phương trình này biểu thị mối quan hệ tuyến tính trên biểu đồ:

Hay nói, là một tài tài của, qua, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua một tài khác $° C = = \frac{5}{9} (° F - 32) \ độ C = \ frac {5} {9} ( độ F - 32)$ ° C = 95 (° F − 32)

Hay nói, là một tài tài của, qua, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua một tài khác $° F = = \frac{9}{5} (° C + 32) \ độ F = \ frac {9} {5} ( độ C + 32)$ ° F = 59 (° C + 32)

Ví dụ 4

Giả sử rằng biến độc lập là kích thước của một ngôi nhà (được đo bằng thước vuông) xác định giá thị trường của một ngôi nhà (biến phụ thuộc) khi nó được nhân với hệ số độ dốc là 207, 65 và sau đó được thêm vào thuật ngữ không đổi $ 10, 500. Nếu diện tích hình vuông của một ngôi nhà là 1.250 thì giá trị thị trường của ngôi nhà là (1.250 x 207, 65) + $ 10, 5 = $ 270, 062, 50. Về mặt đồ họa và toán học, nó xuất hiện như sau:

Trong ví dụ này, khi kích thước của ngôi nhà tăng lên, giá trị thị trường của ngôi nhà tăng theo kiểu tuyến tính.

Một số mối quan hệ tuyến tính giữa hai đối tượng có thể được gọi là "hằng số tỷ lệ". Mối quan hệ này xuất hiện như

Hay nói, là một tài tài của, qua, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua một tài khác $\begin{matrix} Y = = k \times X \\ Ở đâu: \\ k = = không thay đổi \\ Y, X = = số lượng tỷ lệ \end{matrix} \ started {căn chỉnh} & Y = k \ lần X \\ & \ textbf {trong đó:} \ & k = \ text {hằng} & Y, X = \ text {số lượng tỷ lệ} \ end {căn chỉnh}$ Y = k × Xwhere: k = hằng sốY, X = số lượng tỷ lệ

Khi phân tích dữ liệu hành vi, hiếm khi có mối quan hệ tuyến tính hoàn hảo giữa các biến. Tuy nhiên, các đường xu hướng có thể được tìm thấy trong dữ liệu tạo thành một phiên bản thô của mối quan hệ tuyến tính. Ví dụ, bạn có thể xem việc bán kem và số lần đến bệnh viện là hai biến đang chơi trong biểu đồ và tìm mối quan hệ tuyến tính giữa hai.

Mục lục: