Lãi kép liên tục

Lãi gộp là lãi được tính trên tiền gốc ban đầu và cả lãi tích lũy của các kỳ trước của khoản tiền gửi hoặc khoản vay. Hiệu quả của lãi kép phụ thuộc vào tần số.

Giả sử lãi suất hàng năm là 12%. Nếu chúng ta bắt đầu năm với 100 đô la và chỉ gộp một lần, vào cuối năm, tiền gốc tăng lên 112 đô la (100 đô la x 1, 12 = 112 đô la). Nếu chúng ta thay vì gộp mỗi tháng ở mức 1%, chúng ta sẽ có hơn 112 đô la vào cuối năm. Đó là, $ 100 x 1, 01 ^ 12 ở mức $ 112, 68. (Cao hơn vì chúng tôi gộp thường xuyên hơn.)

Liên tục trả về hợp chất thường xuyên nhất của tất cả. Ghép liên tục là giới hạn toán học mà lãi kép có thể đạt được. Đây là một trường hợp cực đoan của lãi kép vì phần lớn lãi được gộp trên cơ sở hàng tháng, hàng quý hoặc nửa năm.

Tỷ lệ hoàn vốn giữa năm

Đầu tiên, chúng ta hãy xem một quy ước có thể gây nhầm lẫn. Trong thị trường trái phiếu, chúng tôi đề cập đến một lợi suất tương đương trái phiếu (hoặc cơ sở tương đương trái phiếu). Điều này có nghĩa là nếu một trái phiếu mang lại lợi nhuận 6% trên cơ sở nửa năm, thì lợi suất tương đương trái phiếu của nó là 12%.

Hình ảnh của Julie Bang © Investopedia 2019

Năng suất nửa năm chỉ đơn giản là gấp đôi. Điều này có khả năng gây nhầm lẫn bởi vì lợi suất hiệu quả của trái phiếu lãi suất tương đương 12% là 12, 36% (nghĩa là 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Nhân đôi năng suất nửa năm chỉ là một quy ước đặt tên trái phiếu. Do đó, nếu chúng ta đọc khoảng 8% trái phiếu gộp nửa năm, chúng tôi giả sử điều này đề cập đến lợi suất nửa năm nửa năm.

Tỷ lệ lợi nhuận hàng quý, hàng tháng và hàng ngày

Bây giờ, hãy thảo luận về tần số cao hơn. Chúng tôi vẫn đang giả định lãi suất thị trường 12% hàng năm. Theo quy ước đặt tên trái phiếu, điều đó hàm ý tỷ lệ gộp 6% nửa năm. Bây giờ chúng ta có thể biểu thị tỷ lệ gộp hàng quý như là một hàm của lãi suất thị trường.

Hình ảnh của Julie Bang © Investopedia 2019

Với tỷ lệ thị trường hàng năm ( r), tỷ lệ gộp hàng quý ( r _q) được đưa ra bởi:

Vì vậy, ví dụ của chúng tôi, trong đó tỷ lệ thị trường hàng năm là 12%, tỷ lệ gộp hàng quý là 11, 825%:

Là một tài tài, hay nói, qua, qua một khác, qua giữ, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua, qua, qua một khác, qua, khác qua, khác khi khác mới, mới đăng, mới đăng, mới mới đăng, mới đăng đăng, mới đăng, mới đăng cam cam $\begin{matrix} r_{q} = = 4 ≅ 11 . số 8 25 % \end{matrix} \ started {căn chỉnh} & r_q = 4 \ left \ cong 11.825 \% \\ \ end {căn chỉnh}$ Rq = 4≅11.825%

Hình ảnh của Julie Bang © Investopedia 2019

Một logic tương tự áp dụng cho gộp hàng tháng. Lãi suất gộp hàng tháng ( r _m ) được đưa ra ở đây là hàm của lãi suất thị trường hàng năm ( r):

Tỷ lệ gộp hàng ngày ( d) là một hàm của lãi suất thị trường ( r) được đưa ra bởi:

Là một tài tài, hay nói, qua, qua một khác, qua giữ, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua, qua, qua một khác, qua, khác qua, khác khi khác mới, mới đăng, mới đăng, mới mới đăng, mới đăng đăng, mới đăng, mới đăng cam cam $\begin{matrix} r_{d} & = = 360 \\ = = 360 \\ ≅ 11.66 % \end{matrix} \ started {căn chỉnh} r_d & = 360 \ left \\ & = 360 \ left \\ & \ cong 11.66 \% \\ \ end {căn chỉnh}$ nd = 360 = 360≅11, 66%

Làm thế nào liên tục hợp chất hoạt động

Hình ảnh của Julie Bang © Investopedia 2019

Nếu chúng ta tăng tần số ghép đến giới hạn của nó, chúng ta sẽ ghép liên tục. Trong khi điều này có thể không thực tế, lãi suất gộp liên tục cung cấp các đặc tính tiện lợi tuyệt vời. Nó chỉ ra rằng lãi suất gộp liên tục được đưa ra bởi:

Ln () là nhật ký tự nhiên và trong ví dụ của chúng tôi, tỷ lệ gộp liên tục là do:

Là một tài tài, hay nói, qua, qua một khác, qua giữ, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua, qua, qua một khác, qua, khác qua, khác khi khác mới, mới đăng, mới đăng, mới mới đăng, mới đăng đăng, mới đăng, mới đăng cam cam $\begin{matrix} r_{c o n t Tôi n bạn o bạn S} = = \ln (1 + 0.12) = = \ln (1.12) ≅ 11.33 % \end{matrix} \ started {căn chỉnh} & r_ {liên tục} = \ ln (1 + 0.12) = \ ln (1.12) cong 11.33 \% \\ \ end {căn chỉnh}$ RC không liên tục = ln (1 + 0, 12) = ln (1, 12) 11, 33%

Chúng ta đến cùng một vị trí bằng cách lấy nhật ký tự nhiên của tỷ lệ này: giá trị kết thúc chia cho giá trị bắt đầu.

Là một tài tài, hay nói, qua, qua một khác, qua giữ, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua, qua, qua một khác, qua, khác qua, khác khi khác mới, mới đăng, mới đăng, mới mới đăng, mới đăng đăng, mới đăng, mới đăng cam cam $\begin{matrix} r_{c o n t Tôi n bạn o bạn S} = = \ln (\frac{{Giá trị}_{Kết thúc}}{{Giá trị}_{Khởi đầu}}) = = \ln (\frac{112}{100}) ≅ 11.33 % \end{matrix} \ started {căn chỉnh} & r_ {liên tục} = \ ln \ left ( frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Bắt đầu}} right) = \ ln \ trái ( frac {112} {100} phải) cong 11, 33 \% \\ \ end {căn chỉnh}$ RCContuity = ln (ValueStart ValueEnd) = ln (100112) 11, 33%

Điều thứ hai là phổ biến khi tính toán lợi nhuận gộp liên tục cho một cổ phiếu. Ví dụ: nếu cổ phiếu tăng từ 10 đô la một ngày lên 11 đô la vào ngày hôm sau, lợi nhuận hàng ngày gộp liên tục được đưa ra bởi:

Là một tài tài, hay nói, qua, qua một khác, qua giữ, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua, qua, qua một khác, qua, khác qua, khác khi khác mới, mới đăng, mới đăng, mới mới đăng, mới đăng đăng, mới đăng, mới đăng cam cam $\begin{matrix} r_{c o n t Tôi n bạn o bạn S} = = \ln (\frac{{Giá trị}_{Kết thúc}}{{Giá trị}_{Khởi đầu}}) = = \ln (\frac{$ 11}{$ 10}) ≅ 9.53 % \end{matrix} \ started {căn chỉnh} & r_ {liên tục} = \ ln \ left ( frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Bắt đầu}} right) = \ ln \ bên trái ( frac { $ 11} { $ 10} phải) cong 9.53 \% \\ \ end {căn chỉnh}$ RCContuity = ln (ValueStart ValueEnd) = ln ($ 10 $ 11) 9, 53%

Điều gì tuyệt vời về tỷ lệ gộp liên tục (hoặc lợi nhuận) mà chúng ta sẽ biểu thị với r _c ? Đầu tiên, thật dễ dàng để mở rộng nó về phía trước. Với một hiệu trưởng của (P), sự giàu có cuối cùng của chúng tôi trong (n) năm được đưa ra bởi:

Lưu ý rằng e là hàm số mũ. Ví dụ: nếu chúng tôi bắt đầu với 100 đô la và liên tục gộp 8% trong ba năm, thì sự giàu có cuối cùng được đưa ra bởi:

Là một tài tài, hay nói, qua, qua một khác, qua giữ, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua, qua, qua một khác, qua, khác qua, khác khi khác mới, mới đăng, mới đăng, mới mới đăng, mới đăng đăng, mới đăng, mới đăng cam cam $\begin{matrix} w = = $ 100 e^{(0.0 số 8) (3)} = = $ 127.12 \end{matrix} \ started {căn chỉnh} & w = \ $ 100e ^ {(0, 08) (3)} = \ $ 127, 12 \ \ end {căn chỉnh}$ W = $ 100e (0, 08) (3) = $ 127, 12

Chiết khấu cho giá trị hiện tại (PV) chỉ đơn thuần là kết hợp ngược lại , vì vậy giá trị hiện tại của giá trị tương lai (F) được liên tục gộp với tỷ lệ ( r _c) được đưa ra bởi:

Là một tài tài, hay nói, qua, qua một khác, qua giữ, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua, qua, qua một khác, qua, khác qua, khác khi khác mới, mới đăng, mới đăng, mới mới đăng, mới đăng đăng, mới đăng, mới đăng cam cam $\begin{matrix} PV của F nhận được trong (n) năm = = \frac{F}{e^{r_{c} n}} = = F e^{- r_{c} n} \end{matrix} \ started {căn chỉnh} & \ text {PV của F nhận được trong (n) năm} = \ frac {F} {e ^ {r_c n}} = Fe ^ {-r_c n} \ end {căn chỉnh}$ PV của F nhận được trong (n) năm = erc nF = Fe rc n

Ví dụ: nếu bạn sẽ nhận được 100 đô la trong ba năm với tỷ lệ liên tục 6%, giá trị hiện tại của nó được đưa ra bởi:

Là một tài tài, hay nói, qua, qua một khác, qua giữ, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua, qua, qua một khác, qua, khác qua, khác khi khác mới, mới đăng, mới đăng, mới mới đăng, mới đăng đăng, mới đăng, mới đăng cam cam $\begin{matrix} PV = = F e^{- r_{c} n} = = ($ 100) e^{- (0.06) (3)} = = $ 100 e^{- 0.1 số 8} ≅ $ số 8 3.53 \end{matrix} \ started {căn chỉnh} & \ text {PV} = Fe ^ {-r_c n} = ( $ 100) e ^ {- (0, 06) (3)} = \ $ 100 e ^ {-0, 18} cong \ $ 83, 53 \\ \ end {căn chỉnh}$ PV = Fe RC n = ($ 100) e− (0, 06) (3) = $ 100e − 0, 18≅ $ 83, 53

Chia tỷ lệ qua nhiều thời kỳ

Các thuộc tính thuận tiện của lợi nhuận gộp liên tục là nó quy mô qua nhiều thời kỳ. Nếu lợi nhuận của kỳ đầu tiên là 4% và lợi nhuận của kỳ thứ hai là 3%, thì lợi nhuận hai kỳ là 7%. Hãy xem xét chúng tôi bắt đầu năm với 100 đô la, tăng lên 120 đô la vào cuối năm đầu tiên, sau đó là 150 đô la vào cuối năm thứ hai. Lợi nhuận gộp liên tục lần lượt là 18, 23% và 22, 31%.

Là một tài tài, hay nói, qua, qua một khác, qua giữ, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua, qua, qua một khác, qua, khác qua, khác khi khác mới, mới đăng, mới đăng, mới mới đăng, mới đăng đăng, mới đăng, mới đăng cam cam $\begin{matrix} \ln (\frac{120}{100}) ≅ 1 số 8 . 23 % \end{matrix} \ started {căn chỉnh} & \ ln \ left ( frac {120} {100} right) cong 18, 23 \% \\ \ end {căn chỉnh}$ Ln (100120) 18, 23%

Là một tài tài, hay nói, qua, qua một khác, qua giữ, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua, qua, qua một khác, qua, khác qua, khác khi khác mới, mới đăng, mới đăng, mới mới đăng, mới đăng đăng, mới đăng, mới đăng cam cam $\begin{matrix} \ln (\frac{150}{120}) ≅ 22.31 % \end{matrix} \ started {căn chỉnh} & \ ln \ left ( frac {150} {120} right) cong 22.31 \% \\ \ end {căn chỉnh}$ Ln (120150) ≅22, 31%

Nếu chúng ta chỉ cần thêm những thứ này lại với nhau, chúng ta sẽ nhận được 40, 55%. Đây là lợi nhuận hai kỳ:

Là một tài tài, hay nói, qua, qua một khác, qua giữ, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua, qua, qua một khác, qua, khác qua, khác khi khác mới, mới đăng, mới đăng, mới mới đăng, mới đăng đăng, mới đăng, mới đăng cam cam $\begin{matrix} \ln (\frac{150}{100}) ≅ 40.55 % \end{matrix} \ started {căn chỉnh} & \ ln \ left ( frac {150} {100} right) cong 40.55 \% \\ \ end {căn chỉnh}$ Ln (100150) ≅40, 55%

Về mặt kỹ thuật, sự trở lại liên tục là thời gian phù hợp. Tính nhất quán về thời gian là một yêu cầu kỹ thuật đối với giá trị rủi ro (VAR). Điều này có nghĩa là nếu lợi nhuận một kỳ là biến ngẫu nhiên được phân phối bình thường, chúng tôi muốn các biến ngẫu nhiên nhiều kỳ cũng được phân phối bình thường. Hơn nữa, lợi nhuận gộp liên tục nhiều kỳ thường được phân phối (không giống như, tỷ lệ hoàn vốn đơn giản).

Điểm mấu chốt

Chúng tôi có thể điều chỉnh lãi suất hàng năm thành lãi suất nửa năm, hàng quý, hàng tháng hoặc hàng ngày (hoặc tỷ suất lợi nhuận). Hợp chất thường xuyên nhất là gộp liên tục, đòi hỏi chúng ta phải sử dụng nhật ký tự nhiên và hàm số mũ, thường được sử dụng trong tài chính do các đặc tính mong muốn của nó. Nó dễ dàng thay đổi theo nhiều giai đoạn và nó phù hợp với thời gian.

Mục lục:

Tỷ lệ hoàn vốn giữa năm

Tỷ lệ lợi nhuận hàng quý, hàng tháng và hàng ngày

Làm thế nào liên tục hợp chất hoạt động

Chia tỷ lệ qua nhiều thời kỳ

Điểm mấu chốt

Lựa chọn của người biên tập