Hiểu mô hình định giá tùy chọn nhị thức

Xác định giá cổ phiếu

Để đồng ý về giá chính xác cho bất kỳ tài sản có thể giao dịch nào đang thách thức, đó là lý do tại sao giá cổ phiếu liên tục thay đổi. Trong thực tế, các công ty hầu như không thay đổi định giá theo từng ngày, nhưng giá cổ phiếu và định giá của họ thay đổi gần như mỗi giây. Khó khăn này trong việc đạt được sự đồng thuận về giá cả chính xác cho bất kỳ tài sản có thể giao dịch nào dẫn đến các cơ hội chênh lệch giá ngắn hạn.

Nhưng rất nhiều khoản đầu tư thành công tập trung vào một câu hỏi đơn giản về định giá hiện tại, đâu là mức giá hiện tại phù hợp cho một khoản hoàn trả dự kiến trong tương lai?

Định giá tùy chọn nhị thức

Trong một thị trường cạnh tranh, để tránh các cơ hội chênh lệch giá, các tài sản có cấu trúc hoàn trả giống hệt nhau phải có cùng giá. Định giá các lựa chọn là một nhiệm vụ đầy thách thức và các biến thể về giá dẫn đến các cơ hội chênh lệch giá. Black-Scholes vẫn là một trong những mô hình phổ biến nhất được sử dụng cho các tùy chọn giá nhưng có những hạn chế.

Mô hình định giá tùy chọn nhị thức là một phương pháp phổ biến khác được sử dụng cho các tùy chọn định giá.

Ví dụ

Giả sử có một tùy chọn cuộc gọi trên một cổ phiếu cụ thể với giá thị trường hiện tại là 100 đô la. Tùy chọn rút tiền (ATM) có giá thực hiện là 100 đô la với thời gian hết hạn trong một năm. Có hai thương nhân, Peter và Paula, cả hai đều đồng ý rằng giá cổ phiếu sẽ tăng lên 110 đô la hoặc giảm xuống 90 đô la trong một năm.

Họ đồng ý về mức giá dự kiến trong một khung thời gian nhất định là một năm nhưng không đồng ý với xác suất di chuyển lên hoặc xuống. Peter tin rằng xác suất giá cổ phiếu sẽ lên tới 110 đô la là 60%, trong khi Paula tin rằng nó là 40%.

Dựa vào đó, ai sẽ sẵn sàng trả nhiều giá hơn cho tùy chọn cuộc gọi? Có thể là Peter, vì anh ta kỳ vọng khả năng cao sẽ tăng.

Tính toán tùy chọn nhị thức

Hai tài sản, mà việc định giá phụ thuộc vào, là tùy chọn cuộc gọi và chứng khoán cơ sở. Có một thỏa thuận giữa những người tham gia rằng giá cổ phiếu cơ bản có thể chuyển từ $ 100 hiện tại sang $ 110 hoặc $ 90 trong một năm và không có động thái giá nào khác có thể.

Trong một thế giới không có chênh lệch giá, nếu bạn phải tạo một danh mục đầu tư bao gồm hai tài sản này, tùy chọn cuộc gọi và chứng khoán cơ sở, bất kể giá cơ bản đi đâu - $ 110 hoặc $ 90 - lợi nhuận ròng của danh mục đầu tư luôn giữ nguyên. Giả sử bạn mua cổ phần "d" của các tùy chọn cuộc gọi cơ bản và ngắn để tạo danh mục đầu tư này.

Nếu giá chuyển sang $ 110, cổ phiếu của bạn sẽ có giá trị $ 110 * d và bạn sẽ mất $ 10 khi thanh toán cuộc gọi ngắn. Giá trị ròng của danh mục đầu tư của bạn sẽ là (110đ - 10).

Nếu giá giảm xuống 90 đô la, cổ phiếu của bạn sẽ có giá trị 90 đô la * d và tùy chọn sẽ hết hạn một cách vô giá trị. Giá trị ròng của danh mục đầu tư của bạn sẽ là (90đ).

Hay nói, là một tài tài của, qua, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua một tài khác $\begin{matrix} h (d) - m = = tôi (d) \\ Ở đâu: \\ h = = Giá tiềm năng cao nhất \\ d = = Số lượng cổ phiếu cơ bản \\ m = = Tiền bị mất khi thanh toán cuộc gọi ngắn \\ tôi = = Giá cơ bản tiềm năng thấp nhất \end{matrix} \ started {căn chỉnh} & h (d) - m = l (d) \ & \ textbf {trong đó:} \ & h = \ text {Giá cơ bản tiềm năng cao nhất} & d = \ text {Số lượng cổ phiếu cơ bản} \ & m = \ text {Tiền bị mất khi thanh toán cuộc gọi ngắn} & l = \ text {Giá cơ bản tiềm năng thấp nhất} \ end {căn chỉnh}$ H (d) m = l (d) trong đó: h = Tiềm năng cơ bản cao nhất có giá = Số lượng cổ phiếu cơ bản = Tiền bị mất khi thanh toán cuộc gọi ngắn = Giá tiềm năng thấp nhất tiềm năng

Vì vậy, nếu bạn mua một nửa cổ phần, giả sử có thể mua phân đoạn, bạn sẽ quản lý để tạo một danh mục đầu tư sao cho giá trị của nó vẫn giữ nguyên ở cả hai trạng thái có thể trong khung thời gian nhất định là một năm.

Hay nói, là một tài tài của, qua, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua một tài khác $\begin{matrix} 110 d - 10 = = 90 d \\ d = = \frac{1}{2} \end{matrix} \ started {căn chỉnh} & 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \ \ end {căn chỉnh}$ 110đ − 10 = 90dd = 21

Giá trị danh mục đầu tư này, được biểu thị bằng (90đ) hoặc (110d - 10) = 45, là một năm xuống dòng. Để tính giá trị hiện tại của nó, nó có thể được chiết khấu bằng tỷ lệ hoàn vốn không rủi ro (giả sử 5%).

Hay nói, là một tài tài của, qua, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua một tài khác $\begin{matrix} Giá trị hiện tại & = = 90 d \times e^{(- 5 % \times 1 Năm)} \\ = = 45 \times 0.9523 \\ = = 42 . số 8 5 \end{matrix} \ started {căn chỉnh} text {Giá trị hiện tại} & = 90d \ lần e ^ {(-5 \% \ lần 1 \ văn bản {Năm})} \ & = 45 \ lần 0.9523 \\ & = 42, 85 \\ \ kết thúc {căn chỉnh}$ Giá trị hiện tại = 90d × e (5% × 1 năm) = 45 × 0, 9523 = 42, 85

Vì hiện tại, danh mục đầu tư bao gồm ½ cổ phần của cổ phiếu cơ sở (với giá thị trường là 100 đô la) và một cuộc gọi ngắn, nên bằng với giá trị hiện tại.

Hay nói, là một tài tài của, qua, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua một tài khác $\begin{matrix} \frac{1}{2} \times 100 - 1 \times Giá gọi = = $ 42 . số 8 5 \\ Giá gọi = = $ 7.14, tức là giá cuộc gọi hôm nay \end{matrix} \ started {căn chỉnh} & \ frac {1} {2} lần 100 - 1 \ lần \ text {Giá cuộc gọi} = \ $ 42, 85 \\ & \ text {Giá cuộc gọi} = \ $ 7, 14 \ text {, tức là giá cuộc gọi của ngày hôm nay} \ end {căn chỉnh}$ 21 × 100−1 × Giá cuộc gọi = $ 42, 85 Giá bán = $ 7, 14, tức là giá cuộc gọi của ngày hôm nay

Vì điều này dựa trên giả định rằng giá trị danh mục đầu tư vẫn giữ nguyên cho dù giá cơ bản đi theo hướng nào, nên xác suất di chuyển lên hoặc xuống không có vai trò gì. Danh mục đầu tư vẫn không có rủi ro bất kể các động thái giá cơ bản.

Trong cả hai trường hợp (giả định tăng lên $ 110 và giảm xuống $ 90), danh mục đầu tư của bạn là trung tính với rủi ro và kiếm được tỷ lệ hoàn vốn không rủi ro.

Do đó, cả hai nhà giao dịch, Peter và Paula, sẽ sẵn sàng trả cùng 7, 14 đô la cho tùy chọn cuộc gọi này, mặc dù nhận thức khác nhau của họ về xác suất di chuyển lên (60% và 40%). Xác suất nhận thức cá nhân của họ không quan trọng trong việc định giá tùy chọn.

Thay vào đó, giả sử rằng các xác suất cá nhân có vấn đề, các cơ hội chênh lệch giá có thể tự thể hiện. Trong thế giới thực, các cơ hội chênh lệch giá như vậy tồn tại với chênh lệch giá nhỏ và biến mất trong ngắn hạn.

Nhưng đâu là biến động được thổi phồng trong tất cả các tính toán này, một yếu tố quan trọng và nhạy cảm ảnh hưởng đến giá quyền chọn?

Sự biến động đã được bao gồm bởi bản chất của định nghĩa của vấn đề. Giả sử hai trạng thái (và chỉ có hai tên gọi do đó có tên là bin binialialial) về mức giá ($ 110 và $ 90), tính biến động được ẩn giấu trong giả định này và được bao gồm tự động (10% theo cách này trong ví dụ này).

Sô cô la đen

Nhưng cách tiếp cận này có đúng và phù hợp với cách định giá Black-Scholes thường được sử dụng không? Kết quả máy tính tùy chọn (lịch sự của OIC) khớp với giá trị được tính toán:

Thật không may, thế giới thực không đơn giản như chỉ có hai tiểu bang. Các cổ phiếu có thể đạt đến một số mức giá trước khi hết hạn.

Có thể bao gồm tất cả nhiều cấp độ này trong mô hình định giá nhị thức chỉ giới hạn ở hai cấp độ không? Vâng, nó là rất nhiều có thể, nhưng để hiểu nó cần một số toán học đơn giản.

Toán đơn giản

Để khái quát vấn đề và giải pháp này:

"X" là giá thị trường hiện tại của một cổ phiếu và "X * u" và "X * d" là giá tương lai cho các động thái tăng và giảm "t" năm sau. Yếu tố "u" sẽ lớn hơn một vì nó chỉ ra một động thái tăng và "d" sẽ nằm giữa 0 và một. Đối với ví dụ trên, u = 1.1 và d = 0.9.

Các khoản thanh toán tùy chọn cuộc gọi là "P _lên " và "P _dn " cho các lần di chuyển lên và xuống tại thời điểm hết hạn.

Hay nói, là một tài tài của, qua, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua một tài khác $\begin{matrix} VUM = = S \times X \times bạn - P_{lên} \\ Ở đâu: \\ VUM = = Giá trị của danh mục đầu tư trong trường hợp tăng \end{matrix} \ started {căn chỉnh} & \ text {VUM} = s \ lần X \ lần u - P_ \ text {up} \ & \ textbf {trong đó:} \ & \ text {VUM} = \ text {Giá trị của danh mục đầu tư trong trường hợp di chuyển lên} \ end {căn chỉnh}$ VUM = s × X × u − Pup trong đó: VUM = Giá trị của danh mục đầu tư trong trường hợp tăng giá

Hay nói, là một tài tài của, qua, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua một tài khác $\begin{matrix} VDM = = S \times X \times d - P_{xuống} \\ Ở đâu: \\ VDM = = Giá trị của danh mục đầu tư trong trường hợp di chuyển xuống \end{matrix} \ started {căn chỉnh} & \ text {VDM} = s \ lần X \ lần d - P_ \ text {xuống} \ & \ textbf {trong đó:} \ & \ text {VDM} = \ text {Giá trị của danh mục đầu tư trong trường hợp di chuyển xuống} \ end {căn chỉnh}$ VDM = s × X × d − Pdown trong đó: VDM = Giá trị của danh mục đầu tư trong trường hợp di chuyển xuống

Đối với định giá tương tự trong cả hai trường hợp di chuyển giá:

Hay nói, là một tài tài của, qua, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua một tài khác $S \times X \times bạn - P_{lên} = = S \times X \times d - P_{xuống} s \ lần X \ lần u - P_ \ text {up} = s \ lần X \ lần d - P_ \ text {xuống}$ s × X × u − Pup = s × X × d − Pdown

Hay nói, là một tài tài của, qua, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua một tài khác $\begin{matrix} S & = = \frac{P_{lên} - P_{xuống}}{X \times (bạn - d)} \\ = = Số lượng cổ phiếu để mua \\ danh mục đầu tư không rủi ro \end{matrix} \ started {căn chỉnh} s & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {X \ lần (u - d)} \ & = \ text {Số lượng cổ phần cần mua cho} \ & \ ph Phantom {=} text {danh mục đầu tư không rủi ro} \ end {căn chỉnh}$ s = X × (u − d) Pup Pdown = Số lượng cổ phiếu cần mua = danh mục đầu tư không rủi ro

Giá trị tương lai của danh mục đầu tư vào cuối năm "t" sẽ là:

Hay nói, là một tài tài của, qua, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua một tài khác $\begin{matrix} Trong trường hợp di chuyển lên & = = S \times X \times bạn - P_{lên} \\ = = \frac{P_{lên} - P_{xuống}}{bạn - d} \times bạn - P_{lên} \end{matrix} \ started {căn chỉnh} text {Trong trường hợp di chuyển lên} & = s \ lần X \ lần u - P_ \ text {up} \ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down} } {u - d} lần u - P_ \ text {up} \ end {căn chỉnh}$ Trong trường hợp di chuyển lên = s × X × u − Pup = u dPup −Pdown × u − Pup

Hay nói, là một tài tài của, qua, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua một tài khác $\begin{matrix} Trong trường hợp di chuyển xuống & = = S \times X \times d - P_{xuống} \\ = = \frac{P_{lên} - P_{xuống}}{bạn - d} \times d - P_{xuống} \end{matrix} \ started {căn chỉnh} text {Trong trường hợp di chuyển xuống} & = s \ lần X \ lần d - P_ \ text {down} \ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down} } {u - d} lần d - P_ \ text {xuống} \ end {căn chỉnh}$ Trong trường hợp di chuyển xuống = s × X × d − Pdown = u dPup −Pdown × d Pdown

Giá trị ngày nay có thể đạt được bằng cách chiết khấu nó với tỷ lệ hoàn vốn không rủi ro:

Hay nói, là một tài tài của, qua, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua một tài khác $\begin{matrix} PV = = e (- r t) \times \\ Ở đâu: \\ PV = = Giá trị ngày nay \\ r = = Tỷ lệ lợi nhuận \\ t = = Thời gian, tính bằng năm \end{matrix} \ started {căn chỉnh} & \ text {PV} = e (-rt) lần \ left \\ & \ textbf {trong đó:} \ & \ text {PV} = \ text {Giá trị ngày nay} & r = \ text {Tỷ lệ hoàn vốn} \ & t = \ text {Thời gian, tính bằng năm} \ end {căn chỉnh}$ PV = e (−rt) × trong đó: PV = Valuer ngày nay = Tỷ lệ giữ lại = Thời gian, tính bằng năm

Điều này phải phù hợp với việc nắm giữ danh mục đầu tư của cổ phiếu "s" ở giá X và giá trị cuộc gọi ngắn "c" (nắm giữ ngày nay của (s * X - c) sẽ tương đương với tính toán này.) Giải quyết cho "c" cuối cùng cũng cho nó như:

Lưu ý: Nếu phí bảo hiểm cuộc gọi bị rút ngắn, thì đó phải là một bổ sung cho danh mục đầu tư, không phải là một phép trừ.

Hay nói, là một tài tài của, qua, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua một tài khác $c = = \frac{e (- r t)}{bạn - d} \times c = \ frac {e (-rt)} {u - d} lần$ c = u − de (−rt) ×

Một cách khác để viết phương trình là sắp xếp lại:

Lấy "q" là:

Hay nói, là một tài tài của, qua, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua một tài khác $q = = \frac{e (- r t) - d}{bạn - d} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u − de (−rt) d

Sau đó phương trình trở thành:

Hay nói, là một tài tài của, qua, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua một tài khác $c = = e (- r t) \times (q \times P_{lên} + (1 - q) \times P_{xuống}) c = e (-rt) lần (q \ lần P_ \ text {up} + (1 - q) lần P_ \ text {xuống})$ c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown)

Sắp xếp lại các phương trình theo khía cạnh của Q q đã đưa ra một quan điểm mới.

Bây giờ bạn có thể hiểu diễn tả của q q là xác suất di chuyển lên của cơ sở (vì cách q q được liên kết với P _lên và 1 1 q q được liên kết với P _dn). Nhìn chung, phương trình đại diện cho giá quyền chọn ngày nay, giá trị chiết khấu của khoản thanh toán của nó khi hết hạn.

"Q" này là khác nhau

Xác suất này có thể khác như thế nào so với xác suất di chuyển lên hoặc di chuyển xuống của cơ sở?

Hay nói, là một tài tài của, qua, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua một tài khác $\begin{matrix} VSP = = q \times X \times bạn + (1 - q) \times X \times d \\ Ở đâu: \\ VSP = = Giá trị của giá cổ phiếu tại thời điểm t \end{matrix} \ started {căn chỉnh} & \ text {VSP} = q \ lần X \ lần u + (1 - q) lần X \ lần d \\ & \ textbf {trong đó:} \ & \ text {VSP} = \ văn bản {Giá trị của giá cổ phiếu tại thời điểm} t \\ \ end {căn chỉnh}$ VSP = q × X × u + (1 − q) × X × dwhere: VSP = Giá trị của giá cổ phiếu tại thời điểm t

Thay thế giá trị của "q" và sắp xếp lại, giá cổ phiếu tại thời điểm "t" đến:

Hay nói, là một tài tài của, qua, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua một tài khác $\begin{matrix} Giá cổ phiếu = = e (r t) \times X \end{matrix} \ started {căn chỉnh} & \ text {Giá cổ phiếu} = e (rt) lần X \\ \ end {căn chỉnh}$ Giá cổ phiếu = e (rt) × X

Trong thế giới giả định của hai quốc gia này, giá cổ phiếu chỉ tăng theo tỷ lệ hoàn vốn không rủi ro, giống như một tài sản không có rủi ro và do đó nó không phụ thuộc vào bất kỳ rủi ro nào. Các nhà đầu tư thờ ơ với rủi ro theo mô hình này, vì vậy điều này tạo thành mô hình trung lập rủi ro.

Xác suất Nghi qv và "(1-q)" được gọi là xác suất trung lập rủi ro và phương pháp định giá được gọi là mô hình định giá trung lập rủi ro.

Kịch bản ví dụ có một yêu cầu quan trọng - cấu trúc hoàn trả trong tương lai được yêu cầu với độ chính xác (mức $ 110 và $ 90). Trong cuộc sống thực, sự rõ ràng như vậy về mức giá dựa trên bước là không thể; thay vì giá di chuyển ngẫu nhiên và có thể giải quyết ở nhiều cấp độ.

Để mở rộng ví dụ hơn nữa, giả sử rằng mức giá hai bước là có thể. Chúng tôi biết bước thanh toán cuối cùng của bước thứ hai và chúng tôi cần định giá tùy chọn ngày hôm nay (ở bước ban đầu):

Làm việc lạc hậu, việc định giá bước đầu tiên trung gian (tại t = 1) có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các khoản thanh toán cuối cùng ở bước hai (t = 2), sau đó sử dụng các định giá bước đầu tiên được tính toán này (t = 1), định giá ngày hôm nay (t = 0) có thể đạt được với các tính toán này.

Để có được giá tùy chọn ở số hai, tiền thưởng ở bốn và năm được sử dụng. Để có được giá cho số ba, tiền thưởng ở năm và sáu được sử dụng. Cuối cùng, số tiền chi trả được tính toán ở hai và ba được sử dụng để lấy giá ở vị trí số một.

Xin lưu ý rằng ví dụ này giả định cùng một yếu tố cho việc di chuyển lên (và xuống) ở cả hai bước - u và d được áp dụng theo kiểu gộp.

Một ví dụ làm việc

Giả sử một tùy chọn đặt với giá thực hiện là $ 110 hiện đang giao dịch ở mức $ 100 và hết hạn sau một năm. Tỷ lệ không có rủi ro hàng năm là 5%. Giá dự kiến sẽ tăng 20% và giảm 15% sau mỗi sáu tháng.

Ở đây, u = 1, 2 và d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

sử dụng công thức dẫn xuất trên của

Hay nói, là một tài tài của, qua, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua một tài khác $q = = \frac{e (- r t) - d}{bạn - d} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u − de (−rt) d

ta được q = 0, 35802832

giá trị của quyền chọn bán tại điểm 2, Hay nói, là một tài tài của, qua, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua một tài khác $\begin{matrix} p_{2} = = e (- r t) \times (p \times P_{lên} + (1 - q) P_{cập nhật}) \\ Ở đâu: \\ p = = Giá của quyền chọn bán \end{matrix} \ started {căn chỉnh} & p_2 = e (-rt) lần (p \ lần P_ \ text {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \ & \ textbf {trong đó:} \ & p = \ text {Giá của tùy chọn đặt} \ end {căn chỉnh}$ P2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) trong đó: p = Giá của tùy chọn đặt

Ở điều kiện P _upup, bên dưới sẽ là = 100 * 1.2 * 1.2 = $ 144 dẫn đến P _upup = zero

Ở điều kiện P _updn, bên dưới sẽ là = 100 * 1.2 * 0.85 = $ 102 dẫn đến P _updn = $ 8

Ở điều kiện P _dndn, cơ bản sẽ là = 100 * 0, 85 * 0, 85 = $ 72, 25 dẫn đến P _dndn = $ 37, 75

p ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

Tương tự, p ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26.42958924

Hay nói, là một tài tài của, qua, qua, qua một tài khác, qua giữ, qua một tài khác $p_{1} = = e (- r t) \times (q \times p_{2} + (1 - q) p_{3}) p_1 = e (-rt) lần (q \ lần p_2 + (1 - q) p_3)$ p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3)

Và do đó, giá trị của tùy chọn đặt, p ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0, 35802832) * 26.42958924) = $ 18, 29.

Tương tự, các mô hình nhị thức cho phép bạn phá vỡ toàn bộ thời lượng tùy chọn để tiếp tục tinh chỉnh nhiều bước và cấp độ. Sử dụng các chương trình máy tính hoặc bảng tính, bạn có thể làm việc lùi từng bước một để có được giá trị hiện tại của tùy chọn mong muốn.

Một vi dụ khac

Giả sử một tùy chọn đặt kiểu châu Âu có chín tháng hết hạn, giá thực hiện là 12 đô la và giá cơ bản hiện tại ở mức 10 đô la. Giả sử tỷ lệ không rủi ro là 5% cho tất cả các thời kỳ. Giả sử cứ sau ba tháng, giá cơ bản có thể tăng hoặc giảm 20%, cho chúng ta u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 và một cây nhị thức ba bước.

Màu đỏ biểu thị giá cơ bản, trong khi màu xanh biểu thị mức chi trả của quyền chọn bán.

Xác suất trung tính rủi ro "q" tính đến 0, 531446.

Sử dụng giá trị trên của "q" và giá trị xuất chi tại t = chín tháng, các giá trị tương ứng tại t = sáu tháng được tính là:

Hơn nữa, sử dụng các giá trị được tính toán này tại t = 6, các giá trị tại t = 3 thì tại t = 0 là:

Điều đó mang lại giá trị ngày nay của tùy chọn đặt là $ 2, 18, khá gần với giá trị bạn tìm thấy khi tính toán bằng mô hình Black-Scholes ($ 2, 30).

Điểm mấu chốt

Mặc dù sử dụng các chương trình máy tính có thể làm cho các tính toán chuyên sâu này trở nên dễ dàng, nhưng dự đoán về giá trong tương lai vẫn là một hạn chế lớn của các mô hình nhị thức cho việc định giá tùy chọn. Khoảng thời gian càng nhỏ, càng khó dự đoán mức chi trả vào cuối mỗi kỳ với độ chính xác cao.

Tuy nhiên, tính linh hoạt để kết hợp các thay đổi dự kiến ở các giai đoạn khác nhau là một điểm cộng, điều này làm cho nó phù hợp để định giá các lựa chọn của Mỹ, bao gồm cả định giá sớm tập thể dục.

Các giá trị được tính toán bằng mô hình nhị thức khớp với các giá trị được tính toán từ các mô hình thường được sử dụng khác như Black-Scholes, biểu thị mức độ tiện ích và độ chính xác của các mô hình nhị thức để định giá tùy chọn. Các mô hình định giá nhị thức có thể được phát triển theo sở thích của một thương nhân và có thể hoạt động như một giải pháp thay thế cho Black-Scholes.

Mục lục: